Artiklar

2.5: Lös ekvationer med bråk eller decimaler


Inlärningsmål

I slutet av detta avsnitt kommer du att kunna:

  • Lös ekvationer med fraktionskoefficienter
  • Lös ekvationer med decimalkoefficienter

Notera

Innan du börjar, ta detta beredskapsprov.

  1. Multiplicera: (8 cdot 38 ).
    Om du missade det här problemet, gå igenom Övning 1.6.16.
  2. Hitta LCD-skärmen för ( frac {5} {6} ) och ( frac {1} {4} ).
    Om du missade detta problem, gå igenom Övning 1.7.16.
  3. Multiplicera 4,78 med 100.
    Om du missade det här problemet, gå igenom Övning 1.8.22.

Lös ekvationer med fraktionskoefficienter

Låt oss använda den allmänna strategin för att lösa linjära ekvationer som introducerats tidigare för att lösa ekvationen, ( frac {1} {8} x + frac {1} {2} = frac {1} {4} ).

För att isolera x-termen, subtrahera ( frac {1} {2} ) från båda sidor.
Förenkla vänster sida.
Ändra konstanterna till motsvarande fraktioner med LCD-skärmen.
Subtrahera.
Multiplicera båda sidorna med det ömsesidiga av ( frac {1} {8} ).
Förenkla.
Tabell ( PageIndex {1} )

Den här metoden fungerade bra, men många elever känner sig inte särskilt säkra när de ser alla dessa fraktioner. Så vi ska visa en alternativ metod för att lösa ekvationer med bråk. Denna alternativa metod eliminerar fraktionerna.

Vi kommer att använda multiplikationsegenskapen för jämlikhet och multiplicera båda sidor av en ekvation med den minst gemensamma nämnaren av alla bråk i ekvationen. Resultatet av denna operation blir en ny ekvation, motsvarande den första, men utan bråk. Denna process kallas "rensa" ekvationen av bråk.

Låt oss lösa en liknande ekvation, men den här gången använder vi metoden som eliminerar fraktionerna.

Övning ( PageIndex {1} ): Hur man löser ekvationer med fraktionskoefficienter

Lös: ( frac {1} {6} y - frac {1} {3} = frac {5} {6} )

Svar

Övning ( PageIndex {2} )

Lös: ( frac {1} {4} x + frac {1} {2} = frac {5} {8} )

Svar

(x = frac {1} {2} )

Övning ( PageIndex {3} )

Lös: ( frac {1} {8} x + frac {1} {2} = frac {1} {4} )

Svar

(x = -2 )

Observera i övning ( PageIndex {1} ), när vi rensat ekvationen av bråk, var ekvationen som de vi löste tidigare i detta kapitel. Vi ändrade problemet till ett som vi redan visste hur vi skulle lösa! Vi använde sedan den allmänna strategin för att lösa linjära ekvationer.

STRATEGI FÖR ATT LÖSA EKVATIONER MED FRAKTIONSKOEFFICIENTER.

  1. Hitta den minst gemensamma nämnaren för Allt fraktionerna i ekvationen.
  2. Multiplicera båda sidor av ekvationen med LCD-skärmen. Detta rensar fraktionerna.
  3. Lös med den allmänna strategin för att lösa linjära ekvationer.

Övning ( PageIndex {5} )

Lös: (7 = frac {1} {2} x + frac {3} {4} x - frac {2} {3} x )

Svar

(x = 12 )

Övning ( PageIndex {6} )

Lös: (- 1 = frac {1} {2} u + frac {1} {4} u - frac {2} {3} u )

Svar

(u = -12 )

I nästa exempel har vi återigen variabler på båda sidor av ekvationen.

Övning ( PageIndex {8} )

Lös: (x + frac {1} {3} = frac {1} {6} x - frac {1} {2} )

Svar

(x = -1 )

Övning ( PageIndex {9} )

Lös: (c + frac {3} {4} = frac {1} {2} c - frac {1} {4} )

Svar

(c = -2 )

I nästa exempel börjar vi med Distributive Property. Detta steg rensar fraktionerna direkt.

Övning ( PageIndex {11} )

Lös: (- 11 = frac {1} {2} (6p + 2) )

Svar

(p = -4 )

Övning ( PageIndex {12} )

Lös: (8 = frac {1} {3} (9q + 6) )

Svar

(q = 2 )

I nästa exempel, även efter distributionen, har vi fortfarande bråk att rensa.

Övning ( PageIndex {14} )

Lös: ( frac {1} {5} (n + 3) = frac {1} {4} (n + 2) )

Svar

(n = 2 )

Övning ( PageIndex {15} )

Lös: ( frac {1} {2} (m - 3) = frac {1} {4} (m - 7) )

Svar

(m = -1 )

Övning ( PageIndex {17} )

Lös: ( frac {4y - 7} {3} = frac {y} {6} )

Svar

(y = 2 )

Övning ( PageIndex {18} )

Lös: ( frac {-2z - 5} {4} = frac {z} {8} )

Svar

(z = -2 )

Övning ( PageIndex {20} )

Lös: ( frac {b} {10} + 2 = frac {b} {4} + 5 )

Svar

(b = -20 )

Övning ( PageIndex {21} )

Lös: ( frac {c} {6} + 3 = frac {c} {3} + 4 )

Svar

(c = -6 )

Övning ( PageIndex {23} )

Lös: ( frac {3r + 5} {6} + 1 = frac {4r + 3} {3} )

Svar

(r = 1 )

Övning ( PageIndex {24} )

Lös: ( frac {2s + 3} {2} + 1 = frac {3s + 2} {4} )

Svar

(s = -8 )

Lös ekvationer med decimalkoefficienter

Vissa ekvationer har decimaler i sig. Denna typ av ekvation kommer att inträffa när vi löser problem som hanterar pengar eller procentsatser. Men decimaler kan också uttryckas som bråk. Till exempel (0.3 = frac {3} {10} ) och (0.17 = frac {17} {100} ). Så med en ekvation med decimaler kan vi använda samma metod som vi använde för att rensa bråk - multiplicera båda sidor av ekvationen med den minst gemensamma nämnaren.

Övning ( PageIndex {25} )

Lös: (0,06x + 0,02 = 0,25x - 1,5 )

Svar

Titta på decimalerna och tänk på motsvarande bråk.

(0.06 = frac {6} {100} quad 0.02 = frac {2} {100} quad 0.25 = frac {25} {100} quad 1.5 = 1 frac {5} {10} )

Observera att LCD-skärmen är 100.

Genom att multiplicera med LCD-skärmen rensar vi decimalerna från ekvationen.

Multiplicera båda sidor med 100.
Distribuera.
Multiplicera, och nu har vi inga fler decimaler.
Samla variablerna till höger.
Förenkla.
Samla variablerna till höger.
Förenkla.
Dela med 19.
Förenkla.
Kontroll: Låt x = 8

Övning ( PageIndex {26} )

Lös: (0.14h + 0.12 = 0.35h - 2.4 )

Svar

(h = 12 )

Övning ( PageIndex {27} )

Lös: (0,65 k - 0,1 = 0,4 k - 0,35 )

Svar

(k = -1 )

I nästa exempel används en ekvation som är typisk för pengatillämpningarna i nästa kapitel. Lägg märke till att vi fördelar decimaltalet innan vi rensar alla decimaler.

Övning ( PageIndex {29} )

Lös: (0,25n + 0,05 (n + 5) = 2,95 )

Svar

(n = 9 )

Övning ( PageIndex {30} )

Lös: (0,10d + 0,05 (d -5) = 2,15 )

Svar

(d = 16 )

Nyckelbegrepp

  • Strategi för att lösa en ekvation med fraktionskoefficienter
    1. Hitta den minst gemensamma nämnaren för alla bråk i ekvationen.
    2. Multiplicera båda sidor av ekvationen med LCD-skärmen. Detta rensar fraktionerna.
    3. Lös med den allmänna strategin för att lösa linjära ekvationer.

Pre-algebra: Enstegsekvationer med bråk

Steg 1: Multiplicera båda sidor av ekvationen med fraktionens ömsesidiga för att komma ensam på ena sidan:

Steg 2: Multiplicera:

Exempel Fråga nr 3: Enstegsekvationer med bråk

Målet är att isolera variabeln på ena sidan.

Den motsatta funktionen av division är multiplikation, multiplicera därför varje sida med:

Vänster sida kan minskas genom att komma ihåg att allt delat av sig själv är lika med 1:

Multiplikationens identitetslag träder i kraft och vi får lösningen som:

Exempel Fråga nr 1: Enstegsekvationer med bråk

Målet är att isolera variabeln på ena sidan.

Den motsatta funktionen av multiplikation är division, därför kan vi antingen dela varje sida med eller multiplicera varje sida med dess ömsesidiga:

Vänster sida kan reduceras genom att komma ihåg att allt som multiplicerar en bråk med dess ömsesidiga är lika med 1:

Multiplikationens identitetslag träder i kraft och vi får lösningen som:

Denna lösning kan dock minskas genom att dela både täljaren och nämnaren med 3:

Exempel Fråga 5: Enstegsekvationer med bråk

Målet är att isolera variabeln på ena sidan.

Den motsatta funktionen av addition är subtraktion så subtraherar från varje sida:

För att slutföra subtraktionen på höger sida måste vi först bestämma den gemensamma nämnaren, eller gemensamma multiplar av 3 och 6. Den minst gemensamma multipeln av 3 och 6 är 6 själv.

Förenklat får vi den slutliga lösningen:

Exempel Fråga # 1: Einstegsekvationer med bråk

Målet är att isolera variabeln på ena sidan.

Den motsatta funktionen av subtraktion är addition så lägg till varje sida:

För att slutföra tillägget på höger sida måste vi först bestämma den gemensamma nämnaren, eller gemensamma multiplar av 6 och 12. Den minst gemensamma multipeln av 6 och 12 är 12 själv.

Förenklat får vi lösningen:

Genom att minska fraktionen till de enklaste termerna får vi den slutliga lösningen:

Exempel Fråga nr 1: Enstegsekvationer med bråk

För att få y av sig själv måste du dela med 6 på båda sidor

Exempel Fråga 8: Enstegsekvationer med bråk

För att få x av sig själv måste du multiplicera båda sidor av ekvationen med 5

Exempel Fråga 9: Enstegsekvationer med bråk

Lös ekvationen nedan för x:

För denna ekvation, isolera variabeln genom att forma motsvarande operationer på båda sidor av ekvationen.

För att isolera en variabel multiplicerad med en bråk, är varje bråk multiplicerad med dess ömsesidiga lika med en.

Därför isolerar vi, och ekvationen blir

att multiplicera värdena på höger sida ger oss

Exempel Fråga # 10: Enstegsekvationer med bråk

Alla resurser före algebra

Rapportera ett problem med den här frågan

Vänligen meddela oss om du har hittat ett problem med den här frågan. Med hjälp av samhället kan vi fortsätta förbättra våra utbildningsresurser.


EKVATIONERMED FRAKTIONER

LÖS EN EKVATION MED bråk, vi förvandlar den till en ekvation utan bråk - som vi vet hur vi ska lösa. Tekniken kallas rensning av bråk.

Lösning. Rensa fraktioner enligt följande:

Multiplicera båda sidor av ekvationen - varje term - med LCM av nämnare. Varje nämnare delar sig sedan i sin multipel. Vi får då en ekvation utan bråk.

LCM på 3 och 5 är 15. Multiplicera därför båda sidor av ekvationen med 15.

15 & middot x
3
+ 15 & middot x & minus 2
5
= 15 & middot 6

Till vänster, fördela 15 till varje termin. Varje nämnare kommer nu att delas upp i 15 - det är poängen - och vi har följande enkla ekvation som har "rensats" från bråk:

5 x + 3 (x & minus 2) = 90.
Det löses enkelt enligt följande:
5 x + 3 x & minus 6 = 90
8 x = 90 + 6
x = 96
8
= 12.

Vi säger "multiplicera" båda sidor av ekvationen, men ändå utnyttjar vi det faktum att ordningen i vilken vi multiplicerar eller delar inte spelar någon roll. (Lektion 1.) Därför delar vi LCM med varje nämnare först och på det sättet fritt från bråk.

Vi väljer en multipel av varje nämnare, för varje nämnare kommer då att vara en delare av den.

Exempel 2. Rensa fraktioner och lös för x:

Lösning. LCM på 2, 6 och 9 är 18. (Lektion 23 i aritmetik.) Multiplicera båda sidor med 18 - och avbryt.

Det borde inte vara nödvändigt att faktiskt skriva 18. Studenten ska bara titta på och se att 2 kommer att gå 18 nio (9) gånger. Termen blir därför 9 gånger.

Titta sedan på och se att 6 kommer till 18 tre (3) gånger. Den termen blir därför 3 & middot & minus5 x = & minus15 x.

Slutligen, titta på och se att 9 kommer till 18 två (2) gånger. Den termen blir därför 2 & middot 1 = 2.

Här är den rensade ekvationen, följt av dess lösning:

9 x och minus 15 x = 2
& minus6 x = 2
x = 2
& minus6
x = &minus 1
3

Lösning. Detta är en ekvation med en bråkdel. Rensa fraktioner genom att förstärka båda sidor med 2:

5 x & minus 2 = 4 x + 8
5 x & minus 4 x = 8 + 2
x = 10.

I följande problem, rensa fraktioner och lösa för x:

För att se varje svar, för musen över det färgade området.
Klicka på "Uppdatera" ("Ladda om") för att täcka svaret igen.
Gör problemet själv först!

Problem 1. x
2
&minus x
5
= 3
LCM är 10. Här är den rensade ekvationen och dess lösning:
5 x &minus 2 x = 30
3 x = 30
x = 10.

När du löser en ekvation med bråk, nästa rad du skriver -

Problem 2. x
6
= 1
12
+ x
8
LCM är 24. Här är den rensade ekvationen och dess lösning:
4 x = 2 + 3 x
4 x & minus 3 x = 2
x = 2
Problem 3. x & minus 2
5
+ x
3
= x
2
LCM är 30. Här är den rensade ekvationen och dess lösning:
6 (x & minus 2) + 10 x = 15 x
6 x & minus 12 + 10 x = 15 x
16 x och minus 15 x = 12
x = 12.

Uppgift 4. En bråkdel som är lika med en bråkdel.

x & minus 1
4
= x
7
LCM är 28. Här är den rensade ekvationen och dess lösning:
7 (x & minus 1) = 4 x
7 x & minus 7 = 4 x
7 x & minus 4 x = 7
3 x = 7
x = 7
3

Vi ser att när en enstaka bråkdel är lika med en enstaka bråk, kan ekvationen rensas genom "korsmultiplikering".

Problem 5. x & minus 3
3
= x & minus 5
2
Här är den rensade ekvationen och dess lösning:
2 (x & minus 3) = 3 (x & minus 5)
2 x & minus 6 = 3 x & minus 15
2 x & minus 3 x = & minus 15 + 6
& minus x = & minus9
x = 9
Problem 6. x & minus 3
x & minus 1
= x + 1
x + 2
Här är den rensade ekvationen och dess lösning:
(x & minus 3) (x + 2) = (x & minus 1) (x + 1)
x & sup2 & minus x & minus 6 = x & sup2 & minus 1
& minus x = & minus1 + 6
& minus x = 5
x = & minus5.
Problem 7. 2 x & minus 3
9
+ x + 1
2
= x & minus 4
LCM är 18. Här är den rensade ekvationen och dess lösning:
4 x & minus 6 + 9 x + 9 = 18 x & minus 72
13 x + 3 = 18 x & minus 72
13 x & minus 18 x = & minus 72 & minus 3
& minus5 x = & minus75
x = 15.
Problem 8. 2
x
&minus 3
8 x
= 1
4
LCM är 8 gånger. Här är den rensade ekvationen och dess lösning:
16 & minus 3 = 2 x
2 x = 13
x = 13
2

Vänligen gör en donation för att hålla TheMathPage online.
Även $ 1 hjälper.


Fraktionslösare

Att lösa bråk är svårt när det görs mentalt. Du behöver penna och papper för att lösa det manuellt om du vill få ett effektivt resultat. Och även om du vet hur du löser det, gör du ibland fortfarande misstag i din beräkning. Du kan inte lita på ditt beräknade resultat genom att bara göra det en gång. Du måste granska det minst en gång för att se till att du har rätt svar. Denna process tar lite ansträngning, tar mer tid och dränerar mer energi från dig. Kort sagt, denna process för att lösa bråk manuellt är inte effektiv och exakt alls. Du behöver en säker process. Du behöver en skottsäker metod för att få exakt beräkning. Och lösningen för den här frågan är att använda en bråkdelare. Detta verktyg är mycket effektivt och presenteras nedan. Du kan använda den när du behöver en bråkberäkning.

Fraktionslösare är ett verktyg som är utformat för att lösa alla typer av bråkproblem. Den behandlar alla aritmetiska operationer relaterade till bråk. Alla slags fraktioner som korrekta, felaktiga, blandade nummer och till och med deras kombination behandlas. Att lägga till, subtrahera, multiplicera och dela bråk och deras kombinationer görs med detta verktyg utan att göra något fel. Det har testats och använts i över fem år nu. Användaren kommer bara att mata in de åtgärder de behöver genom att trycka på motsvarande knappar.

Delbeskrivning för fraktionslösare och deras användning:

Förenkla - Den här knappen används för att förenkla en given bråkdel. Användaren matar in den fraktion han vill att ska förenklas och trycker på knappen Förenkla. För att mata in en bråk behöver han bara trycka på hela sifferknappen om den har ett heltal följt av sifferknappen och sedan till sist nämnaren. Om fraktionen redan är i sitt förenklade tillstånd kommer den att förbli densamma även om förenklingsknappen har tryckts flera gånger.

Hela siffrorna - Dessa knappar har mörkare grå färg och är större och mer omfattande än knapparna för täljare och nämnare. Dessa knappar finns på vänster sida av fraktionslösaren och måste tryckas in om operationen någonsin involverar heltal annars är det inte nödvändigt att trycka på dessa knappar.

Siffror - Dessa knappar finns längst upp till höger om fraktionslösaren och är mindre än heltalsknappen men samma i storlek med nämnarens knapp. De är vita i färger. Användaren kanske inte behöver trycka på dessa knappar om täljaren de vill ange är en (1) eftersom täljaren automatiskt ställs in på en (1) om användaren direkt trycker på nämnarens knappar.

Nämnare - Dessa knappar har ljusgrå färg och ligger på nedre högra sidan av fraktionslösaren. Användaren kan trycka direkt på dessa knappar och kringgå räknarknapparna om fraktionens räknare är en (1).

Backspace - Den här knappen används när du vill radera en siffra eller åtgärd. Detta görs ett tryck i taget tills alla åtgärder eller siffror som du vill ta bort tas bort.

A / C - Denna knapp trycks in om du vill rensa skärmen och vill börja om.

÷ - Den här knappen används för att dela en bråkdel.

× - Den här knappen används för att multiplicera.

+ - Detta är för tillägg av fraktioner.

- - Detta är för subtraktion av fraktioner.

= - När de önskade bråkoperationerna är inställda, trycker du på lika-knappen för att få fraktionslösaren att börja beräkna problemen och visa resultatet.

Varför har fraktionslösaren skapats?

Skaparen har en gång känt vikten av konsekvensen när någon gör ett misstag att beräkna en mycket enkel bråkdel. Det var en rik man som fem lagliga och två olagliga barn. Enligt lagen i det land de bor i, för att dela arvet, måste det olagliga barnet ha hälften av värdet av det som det legitima barnet ärver. Lyckligtvis finns det bara två olagliga barn. Så deras arvsvärde måste vara lika med det enda legitima barnet. Så beräkningen måste vara att varje lagligt barn måste få 1/6 av arvet medan de olagliga barnen måste få 1/12 vardera. Att beräkna dessa fraktioner måste vara besvärligt när det görs manuellt. Därför föddes idén att skapa ett verktyg som automatiskt beräknar en bråkdel.

Scenarier lämpliga för detta verktyg:

En matematiklärare skapar ett frågeformulär för undersökning av sina 60 studenter. För att göra ett referenssvar såväl som lösningarna för artiklarna relaterade till bråk kan han använda fraktionslösningsverktyget. Detta sparar honom tid som kan användas för att förbereda andra matematiska ämnen och ger honom lite tid att slappna av.

En student förbereder sin mattexamen och övar ämnet om bråk. Han har inget sätt att bekräfta om hans svar är rätt eller fel. Han kan bara kontrollera och granska det flera gånger tills han är säker på att hans svar är korrekt genom att ha samma svar efter flera kontroller. Denna process är tidskrävande och han kanske inte täcker hela ämnet att studera. Genom att använda bråklösare som en guide om hans manuella beräkning är korrekt kan det hjälpa honom att lära sig snabbt och göra honom säker på ämnet.

Ett annat scenario är en affärsman som beräknar sina vinster i affärer. Normal fysisk kalkylator har en begränsad funktion vid beräkning av bråk. Det finns några som har fraktionsberäkningsfunktionalitet men måste ställa in vissa inställningar. Det måste finnas ett verktyg som är specifikt endast för att beräkna bråk. Så det här fraktionslösningsverktyget skulle verkligen hjälpa mycket.

En kock kan behöva summera alla ingredienser i en viss maträtt men kan inte göra det eftersom en del av ingrediensmängden är i fraktionsform. Behovet av att summera det kan bero på behovet av att ha rätt proportion mellan soppan och skålen eller vad som helst som behöver ha en bra andel. Att beräkna det manuellt är inte en idealisk lösning eftersom en kock är kock och inte matematiker. Att beräkna det med exakta resultat kan behöva tjänsten för fraktionslösningsverktyget.

Vad säger folk om fraktionslösare?

"Det här verktyget är väldigt coolt. Eftersom jag hittade det här verktyget har mitt jobb som kassör i en liten närbutik i vår stad varit enklare. Normalt måste jag beräkna pengar och det har funnits tillfällen när ett belopp är relaterat till bråk och jag har att göra det manuellt med penna och papper. Detta skulle leda till att jag får lite obetald övertid för eftersom jag har att göra med kontantbelopp måste jag se till att varje beräkning är korrekt. Visst använder vi kassasystem och kassaapparater men jag kan inte undkomma en situation där fraktionslösaren är rätt verktyg att använda. " Från Neddah Kramel - Arkansas.

"Hej, jag älskar det här verktyget. Det hjälper mig mycket i mina uppgifter relaterade till bråk. Jag är gymnasieelever och har svårt att hantera fraktioner. Ibland känner jag att fraktionen är ett odjur. Nu när jag tyckte att det här var väldigt coolt verktyg, jag är nu säker på att hantera bråk. " Från Jessie M. - Chicago.


Sönderdelning och komponering av fraktionsräknare

En online-sönderdelningsfraktionskalkylator för att sönderdela bråk till en enhetsfraktion. Sönderdelning av fraktioner är att bryta upp fraktioner i flera delar som kan läggas ihop. Komponerande fraktioner är motsatsen till sönderdelning, där alla delfraktioner kommer att komponeras som en. Denna online-sönderdelning och komponering av fraktionsräknare hjälper dig att komponera och sönderdela fraktioner. Välj alternativet och ange värdena i räknaren för att hitta resultatet.


2.5: Lös ekvationer med bråk eller decimaler

Hjälp Buffy att multiplicera bråk med heltal med standardalgoritmen förutom visuella bråkmodeller i denna interaktiva handledning med bageritema. Detta är del 4 av en 4-delad serie. Klicka nedan för att öppna andra handledning i serien. Del 2: Multiplicera bråk Del 3 Använda modeller för att multiplicera en bråk med ett heltal

Ämnesområde: Matematik

Primär resurstyp: Originalhandledning

Hjälp Buffy the Baker att multiplicera en bråkdel med en helhet med hjälp av modeller i denna söta interaktiva handledning. Detta är del 3 av en 4-delad serie. Klicka nedan för att öppna andra handledning i serien. Del 2: Multiplicera bråk Del 4: Multiplicera en bråk med ett heltal - Standardalgoritm

Ämnesområde: Matematik

Primär resurstyp: Originalhandledning

Hitta de totala mängderna av upprepade bråkmängder genom att multiplicera en bråkdel med ett heltal med hjälp av visuella modeller som representerar verkliga problem och kakor i denna interaktiva handledning.


Felaktiga bråk

Nu när du siktar på att hitta en felaktig bråk på en bråknummerrad. Det är vanligtvis lättare att konvertera till blandad fraktionsform först.

Detaljer om hur du gör det kan ses & nbsphär.


Låt oss överväga de felaktiga fraktionerna & nbsp boldsymbol < frac <7> <5>> & nbspand & nbsp boldsymbol < frac <13> <4>>.

I form av blandad fraktion är dessa felaktiga fraktioner:

boldsymbol < frac <7> <5>> & nbsp = & nbsp 1 boldsymbol < frac <2> <5>> & nbsp & nbsp & nbsp, & nbsp & nbsp & nbsp boldsymbol < frac <13> <4>> & nbsp = & nbsp 3 boldsymbol < frac <1> <4>>

Med samma tillvägagångssätt som tidigare för lokalisering av blandade fraktioner kan nu användas för att plotta de felaktiga fraktionerna.


Lösa ekvationer med multiplikation / division

I ordning För att flytta ett tal som multipliceras eller delas med variabeln måste du göra det inversa till båda sidor. Det betyder att om antalet multipliceras måste du dela det med båda sidor. Om den är uppdelad måste du multiplicera den med båda sidor.

Nu kommer vi att arbeta med varje sida. På vänster sida,
3-talet kommer att avbrytas och försvinna (3/3 = 1 och 1x = x).
Vi har variabeln i sig, så det här är vårt svar.

3x = 10 Vi kan kontrollera svaret genom att sätta tillbaka 10/3 i
sann originalekvation i stället för x.

Slutligt svar: Detta är sant, så vi vet att vi har rätt svar.


2) Även om du kan göra detta i ditt huvud, måste du lära dig

båda sidorna med 5.
Nu kommer vi att arbeta med varje sida. På vänster sida,
y = -10 5-talet avbryts och försvinner. Till höger,
-2(5) = -10

originalekvationen istället för y.

Sann

Slutligt svar: y = -10 Detta är sant, så vi vet att vi har rätt svar.


3) Fraktionen 2/3 är på samma sida som x, så det är

hur du delar en bråkdel är att vända på den och
3/2 och 2/3 avbryts och försvinner. Till höger,

Vi har variabeln i sig, så det här är vårt svar.
Vi kan kontrollera svaret genom att sätta -9 tillbaka i
originalekvationen istället för x.

Slutligt svar: x = -9 Detta är sant, så vi vet att vi har rätt svar.


Öva: Lös ekvationen och kontrollera ditt svar

2)

3)

5)


Ha kul med enhetsfraktioner

Att dela båda sidor med 28 resulterar i en sönderdelning av 1 i en summa enhetsfraktioner med fem termer:

Det finns många andra perfekta nummer (till exempel 496, 8128, 33550336 och 8589869056). Även om vi på samma sätt kunde sönderdela dessa siffror som ovan, villkoret att varje nämnare måste vara 99 eller mindre begränsar vilka vi kan använda. Exempelvis är 496 ute eftersom två av dess delare har tre siffror:

Vi kan generalisera våra metoder för sönderdelning och komposition i fem regler.

Regel 1: Sönderdelning i två termer

Att göra detta är relativt enkelt för hand, men du kan också använda kalkylprogram för att påskynda saker.

Regel 2: Nedbrytning till n villkor

Regel 3: Sönderdelning i två termer med en annan metod

Regel 4: Sönderdelning i tre termer

Regel 5: Sammansättning av två termer i en

Ibland i processen att konstruera en summa enhetsfraktioner kan det vara användbart att ersätta två befintliga enhetsfraktioner med en som sedan ger oss fler möjligheter. Till exempel ges sönderdelningen i två termer
vi kan byta vänster och höger sida för att skapa en sammansättning av två termer.

Med hjälp av dessa fem regler har jag hittat en sönderdelning av 1 i 42 distinkta termer för enhetsfraktioner. Du kan se det nedan.

Upprepad sönderdelning och sammansättning av två och tre termer för att hitta alltmer långa summor lika med 1 är ett utmärkt sätt att döda tiden. Men hur långt kan vi ta det? En bit integrerad beräkning gör att man kan förutsäga att det maximala värdet måste vara 62. (Om du inte känner till beräkningen kan du hoppa över det här avsnittet.)

Högst 62 villkor

Figur 2 visar samma kurva, den här gången med rektanglar vars ytor uppgår till mindre än arean under kurvan.

Att sätta ihop de två ojämlikheterna vi har

( 1 )

( 2 )

En liknande manipulation som ovan ger sedan analogen av ojämlikhet (2)

Att träna integralen ger

Ojämlikheten till höger säger att för att summan av enhetsfraktionerna inte ska överstiga 1 måste vi ha

Ett träddiagram över min 42-lösning

Min nuvarande lösning med 42 distinkta enhetsfraktionstermer ser ut så här

kommer att ge dig ett alternativt svar på 42 ord, som jag lämnar åt dig att träna (här är svaret).

Figur 4 visar lösningen som ett träddiagram där stammen är vårt ursprungliga värde på 1 och grenarna visar nedbrytningsprocessen i två och tre termer. Var och en av de 42 bladen är en unik enhetsfraktion i lösningen.

Kanske skulle lite mer sökning reparera dessa platser genom att ta bort behovet av kompositioner.

Om författaren

"boomerangprofessor". Han är intresserad av det dagliga livets matematik och har skrivit åtta böcker om ämnet. Den senaste, Mysteriet med fem i naturen, undersöker bland annat varför många blommor har fem kronblad.

Hur löser man en andel?

Studenter måste lösa proportioner för hand i sina tentor och klassrum. Det här verktyget kan vara till stor hjälp för att snabbt slutföra uppgifterna och läxorna. Dessutom kan den användas för att lära sig beräkningarna av proportioner. Här kommer vi att illustrera hur man beräknar andelen själv.

Korsmultiplikationsmetod

För att beräkna ett saknat värde eller okänd variabel i en proportion, följ stegen nedan:

  • Skriv de angivna värdena i bråkform. Använd valfri variabel för att representera det okända värdet.
  • Gå med i båda fraktionerna med ett likhetstecken.
  • Multiplicera båda fraktionerna diagonalt. Dvs multiplicera täljaren för den första fraktionen med nämnaren för den andra fraktionen och multiplicera täljaren för den andra fraktionen med nämnaren för den första fraktionen.
  • Skriv båda siffrorna efter multiplikation och sätt ett likhetstecken mellan dem.
  • Hitta värdet på variabeln genom att isolera den på vardera sidan av ekvationen.

Exempel & ndash Direkt andel

Ett tåg från Seoul till Busan färdas 300 km på fyra timmar. Hur lång tid tar det att nå ett avstånd på 500 km?

Steg 1: Skriv de angivna värdena i bråkform. Använd valfri variabel för att representera det okända värdet.

Den färdas 300 km på 4 timmar, förhållandet blir: 300/4

Förhållandet för avståndet 500 km kommer att vara: 500 / X

Steg 2: Gå med i båda fraktionerna med ett likhetstecken.

300 / 4 = 500 / X

300 : 4 = 500 : X

Steg 3: Multiplicera båda fraktionerna diagonalt. Dvs multiplicera täljaren för den första fraktionen med nämnaren för den andra fraktionen och multiplicera täljaren för den andra fraktionen med nämnaren för den första fraktionen.

Steg 4: Skriv båda siffrorna efter multiplicering och sätt ett likhetstecken mellan dem.

300 X = 500 & gånger 4

Steg 5: Hitta värdet på variabeln genom att isolera den på vardera sidan om ekvationen.

X = 2000/300

X = 6,6 timmar ca

Så tåget tar ungefär 6 och en halv timme att täcka ett avstånd på 500 km.

Exempel & ndash Omvänd proportion

I en leksaksfabrik tillverkar tre arbetare en låda med leksaker på åtta dagar. Företaget har anställt ytterligare 2 arbetare för att öka produktionen av enheten. Det finns totalt 5 arbetare på fabriken nu. Hur lång tid tar det att slutföra samma uppgift av 5 arbetare?

Steg 1: Skriv de angivna värdena i bråkform. Använd valfri variabel för att representera det okända värdet.

Andelen arbetstagare före och efter = 3/5

Andel dagar efter avslutad = X / 8

Steg 2: Gå med i båda fraktionerna med ett likhetstecken.

3 / 5 = X / 8

Steg 3: Multiplicera båda fraktionerna diagonalt. Dvs multiplicera täljaren för den första fraktionen med nämnaren för den andra fraktionen och multiplicera täljaren för den andra fraktionen med nämnaren för den första fraktionen.

Steg 4: Skriv båda siffrorna efter multiplikation och sätt ett likhetstecken mellan dem.

Steg 5: Hitta värdet på variabeln genom att isolera den på vardera sidan om ekvationen.

Så, 5 arbetare kommer att tillverka leksakerna på cirka 4.8 dagar.

Hur beräknar man andelen?

Andelen kan beräknas med en korsmultiplikationsmetod. I korsmultiplikationsmetoden multiplicerar vi diagonalt täljaren och nämnaren för båda fraktionerna och beräknar värdet på en okänd variabel genom att isolera den på ena sidan av ekvationen.

Vi har till exempel två fraktioner som:

Genom korsmultiplikation får vi:

2x = 12 & egrave x = 6

Vad är exempel på proportioner?

Följande är några exempel på proportioner:

  • Vi använder proportioner av ingredienser för att laga en viss mängd mat.
  • Vi jämför priserna på olika köpcentra med hjälp av proportioner.
  • Byggare blandar sand och cement till grusen för att göra en lösning genom att använda de specifika proportionerna.
  • Kemister gör flera kemiska formler och läkemedel genom att använda proportioner av olika kemikalier och läkemedel.
  • Ett rep med specifik vikt och längd. Repets längd och vikt är proportionella.
  • Storleken på formen på alla objekt kan vara proportionell mot varandra.

Vad är förhållandet mellan 4 och 3?

Förhållandet mellan 4 och 3 kan skrivas som 4 : 3. Det betyder att den andra kvantiteten är 1/3 av den första kvantiteten.

Några motsvarande förhållanden på 4 : 3 är:

4 : 3 8 : 6 12 : 9 16 : 12 20 : 15
24 : 18 28 : 21 32 : 24 36 : 27 40 : 30
44 : 33 48 : 36 52 : 39 56 : 42 60 : 45
64 : 48 68 : 51 72 : 54 76 : 57 80 : 60
84 : 63 88 : 66 92 : 69 96 : 72 100 : 75

Vad är förhållandet mellan 1 och 5?

Förhållandet 1 till 5 kan skrivas som 1 : 5. Det visar att kvantiteten på andra plats är fem gånger kvantiteten i första hand. Några motsvarande förhållanden på 1 : 5 är:


Titta på videon: Ekvation bråk (Oktober 2021).